Pythagorejské čtveřice

Text dotazu

Dobrý den, obracím se na Vás s dotazem z oboru Matematiky. Pokouším se vytvořit obecný matematický postup (návod) pro tvorbu takzvaných Pythagorejských čtveřic. Rozumějte - hledám návod, jak vyhledat čtyři různá přirozená čísla, která splňují rovnici a² + b² + c² = d². Domnívám se, že bude tato technika fungovat jako u Pythagorovy věty, kde pracujeme pomocí různých rozkladů. Zde jsem se ovšem velmi rychle zasekl - vycházím ze základních vztahů: a<b<c<d, a² + b² = d² - c²...zde jde hezky vidět rozklad na rozdíl čtverců podle vzorce...a² + b² = (c - d)×(c + d). Zároveň jsem narazil na jakousi Brahmaguptovu Fibonacciho identitu, která by zde měla hrát roli. Žádám Vás tedy alespoň o základní pomoc s tvorbou tohoto postupu, předem děkuji.

Odpověď

Dobrý den,

pokusili jsme se vyhledat dokumenty, které poskytují návod, jak vyhledat čtyři různá přirozená čísla, která splňují rovnici a² + b² + c² = d²  (např. čísla 1,4,8,9), tzv. Pythagorejské čtveřice.

Problému, který se snažíte vyřešit, se věnuje kapitola Wikipedie  Pythagorean quadruple, ve které najdete i návod, jak tato čísla vyhledat (v angličtině) a odkazy na literaturu, která se této problematice věnuje.

Bohužel česká verze této stránky wikipedie nebyla dosud zpracována.

 Řešení rovněž najdete vysvětleno např. zde:

• ve 4. kapitole v článku Roy, T., & Sonia, F. J. (2012). A direct method to generate Pythagorean triples and its generalization to Pythagorean quadruples and n-tuples. https://arxiv.org/pdf/1201.2145
• v článku Wünsche, A. (2024) Three- and Four-Dimensional Generalized Pythagorean Numbers. Advances in Pure Mathematics, 14, 1-15. https://doi.org/10.4236/apm.2024.141001 , či
• v  kapitole Pythagorean  Quadruples v článku na vzdělávacím matematickém webu Plus Halai, Ch. (2012). Triples and Quadruples: from Pythagoras to Fermat. https://plus.maths.org/content/triples-and-quadruples

Postupy v této otázce se diskutují rovněž na webu Math Stack Exchange, kde jistě najdete další nadšence a odborníky, se kterými můžete své nápady probrat (téma je probíráno na více místech tohoto webu, mj. zde).

Postup a diskusi najdete i na dalším fóru pro matematické nadšence https://www.geeksforgeeks.org/pythagorean-quadruple/

Pokud byste chtěl pomoci s překladem z angličtiny, můžete zkusit využít služeb překladače DeepL.

Pokud jde o zdroje v českém jazyce, které by byly přístupné online, na str. 4 v publikaci Bastl, B., Ježek, F., & Lávička, M. (2014). Pythagorův odkaz v geometrickém modelování. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 59(1), 6-16. https://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/143734/PokrokyMFA_59-2014-1_2.pdf  se vysvětluje, že "od pythagorejských trojic se dá přejít k pythagorejským čtveřicím (vzpomeňme např. na výpočet délky tělesové úhlopříčky d kvádru o délce hran a, b, c, pro niž platí d2 = a2 + b2 + c2), které lze generovat pomocí vztahů a = m2 + n2 − p2 − q2, b = 2mq + 2np, c = 2nq − 2mp, d = m2 + n2 + p2 + q2. A lze samozřejmě hovořit obecně i o pythagorejských n-ticích".

Z tištěných zdrojů by pro Vás mohly být relevantní tyto dva články z časopisu Matematika, fyzika, informatika:

• HALAŠ, Radomír. O nepodobných pythagorejských čtyřúhelnících. In: Matematika, fyzika, informatika: časopis pro výuku na základních a středních školách. 9. Praha: Prometheus, 1991-, s. 1-8. ISSN 1210-1761.
• ORDÁŇ, Jan. O nepodobných pythagorejských čtyřúhelnících. In: Matematika - fyzika - informatika. 6. 1996/97, s. 121-123. ISSN 1210-1761.

Obor

Matematika

Okres

Praha

Knihovna

Národní technická knihovna

Datum zadání dotazu

14.01.2025 16:12